（2014?广州模拟）如图，三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱AA1⊥平面ABC，△ABC为正三角形，侧面AA1C1C是正方形，E
（2014?广州模拟）如图，三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱AA1⊥平面ABC，△ABC为正三角形，侧面AA1C1C是正方形，E是A1B的中点，F是棱CC1上的点．（Ⅰ）...
（2014?广州模拟）如图，三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱AA1⊥平面ABC，△ABC为正三角形，侧面AA1C1C是正方形，E是A1B的中点，F是棱CC1上的点．（Ⅰ）当VE-ABF=33时，求正方形AA1C1C的边长；（Ⅱ）当A1F+FB最小时，求证：AE⊥平面A1FB．
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（Ⅰ）设正方形AA1C1C的边长为x，由于E是A1B的中点，△EAB的面积为定值．
∵CC1∥平面AA1B，
∴点F到平面EAB的距离为定值，即为点C到平面平面AA1B的距离
又VE-ABF=VF-ABE，且VF?ABE＝
S△ABE?h=
即
?
?x?
?
x＝
，
∴x3=8，x=2
（Ⅱ）解法一：将侧面BCC1B1展开到侧面A1ACC1得到矩形ABB1A1，连结A1B，交C1C于点F，此时点F使得A1F+BF最小．此时FC平行且等于A1A的一半，
∴F为C1C的中点．
取AB中点O，连接OE，EF，OC，
∴OEFC为平行四边形，
∵△ABC为正三角形，
∴OC⊥AB，又AA1⊥平面ABC，
∴OC⊥AA1，且AB∩AA1=A，
∴OC⊥平面A1AB，
∵AE?平面A1AB，
∴OC⊥AE，又EF∥OC，
∴AE⊥EF
由于E是A1B的中点，所以AE⊥A1B，又A1B∩EF=E，
所以直线AE与平面A1FB垂直
解法二：将侧面BCC1B1展开到侧面A1ACC1得到矩形ABB1A1，连结A1B，交C1C于点F，此时点F使得A1F+BF最小．此时FC平行且等于A1A的一半，
∴F为C1C的中点．
过点E作EG∥A1F交BF于G，则G是BF的中点，EG＝
A1F＝
．
过点G作GH⊥BC，交BC于H，则GH＝
FC＝
．
又AH＝
∵CC1∥平面AA1B，
∴点F到平面EAB的距离为定值，即为点C到平面平面AA1B的距离
又VE-ABF=VF-ABE，且VF?ABE＝
| 1 |
| 3 |
| ||
| 3 |
即
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| x |
| 2 |
| ||
| 2 |
| ||
| 3 |
∴x3=8，x=2
（Ⅱ）解法一：将侧面BCC1B1展开到侧面A1ACC1得到矩形ABB1A1，连结A1B，交C1C于点F，此时点F使得A1F+BF最小．此时FC平行且等于A1A的一半，
∴F为C1C的中点．
取AB中点O，连接OE，EF，OC，
∴OEFC为平行四边形，
∵△ABC为正三角形，
∴OC⊥AB，又AA1⊥平面ABC，
∴OC⊥AA1，且AB∩AA1=A，
∴OC⊥平面A1AB，
∵AE?平面A1AB，
∴OC⊥AE，又EF∥OC，
∴AE⊥EF
由于E是A1B的中点，所以AE⊥A1B，又A1B∩EF=E，
所以直线AE与平面A1FB垂直
解法二：将侧面BCC1B1展开到侧面A1ACC1得到矩形ABB1A1，连结A1B，交C1C于点F，此时点F使得A1F+BF最小．此时FC平行且等于A1A的一半，
∴F为C1C的中点．
过点E作EG∥A1F交BF于G，则G是BF的中点，EG＝
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
．过点G作GH⊥BC，交BC于H，则GH＝
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
又AH＝
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