Question

急求：已知f(x)在(-∞,+∞)内连续,且f(x)=∫(0→2x)f(1/2t)dt,则f '(x)

急求：已知f(x)在(-∞,+∞)内连续,且f(x)=∫(0→2x)f(1/2t)dt,则f '(x)，先问f(1/2t)dt要将f(1/2t)里的1/2t看成是u变为 2du 吗，那原式是变为 f(x)=2∫(0→2x)f(u)du ，在求导吗，那就等于 4f(x)， 但答案是2f(x)....求解释，万分感谢.....

Answer 1

将1/2t换成u后，u的范围是(0，x)，所以，原式变为f(x)＝2∫(0→x)f(u)du，再两边求导，答案就是2f(x)。

Answer 2

很简单，有求变上限积分的求导公式
d/dx ∫(a→x) ƒ(t) dt = ƒ(x)
于是直接用公式就可以了
ƒ(x) = ∫(0→2x) ƒ(t/2) dt
ƒ'(x) = (2x)' • ƒ((2x)/2)
= 2ƒ(x)

通常，如果被积函数里面没有x的话，就可以直接用公式
如果有x的话，多数要用换元法，大致有两种形式

第一种是被积函数里和x有乘除关系，或无法抽出积分号外的，ƒ(xt)或ƒ(x/t)或ƒ(x² - t²)等
则d/dx ∫(0→x) ƒ(xt) dt，由于x在被积函数里又无法抽出积分号外，需要换元u = xt，du = x dt
于是等于d/dx ∫(0→x²) ƒ(u) • 1/x du = d/dx (1/x)∫(0→x²) ƒ(u) du，再用导数乘法则可以了

另一种虽然被积函数和x可能有乘除关系，但可以抽出到积分号外，例如(x - t)ƒ(t)等
则d/dx ∫(0→x) (x - t)ƒ(t) dt
= d/dx [∫(0→x) xƒ(t) dt - ∫(0→x) tƒ(t) dt]
= d/dx [x∫(0→x) ƒ(t) dt] - d/dx [∫(0→x) tƒ(t) dt]

如果用你那种换元法的话可未尝不可以
令u = t/2则du = 1/2 dt
t = 0，u = 0
t = 2x，u = 2x/2 = x
则d/dx ∫(0→2x) ƒ(t/2) dt
= d/dx ∫(0→x) ƒ(u) • 2 du
= 2 • d/dx ∫(0→x) ƒ(u) du
= 2ƒ(x)

Answer 3

是f(1/2t)还是f(1/(2t))，若是f(1/2t),则答案是2f(x),
若是f[1/(2t)],则答案是2f[1/(4x)]