Question

设实数a,b使方程x4+ax3+bx²+ax+1=0有实根,求a²+b²的最小值.

Answer 1

显然x=0时方程有1=0，矛盾
表明x≠0
将方程两边同时除以x^2
则(x^2+1/x^2)+a(x+1/x)+b=0
即(x+1/x)^2+a(x+1/x)+b-2=0
因x有解，则x+1/x有解
则⊿=a^2-4(b-2)≥0
即a^2≥4b-8

所以a^2+b^2
≥b^2+4b-8
=(b+2)^2-12
≥-12
即(a^2+b^2)min=-12

追问

可是答案是4/5啊

追答

≤-2是有问题。首先一个低级错误就是a^2+b^2本身是个非负数，最小值不可能是负数
更正如下：
显然x=0时方程有1=0，矛盾
表明x≠0
将方程两边同时除以x^2
则(x^2+1/x^2)+a(x+1/x)+b=0
即(x+1/x)^2+a(x+1/x)+b-2=0

令y=x+1/x
则上述方程为y^2+ay+(b-2)=0（I）

令方程（I）的解为m、n（可能相等可能不相等）

当x>0时
由基本不等式知y=x+1/x≥2
即m≥2，n≥2
由韦达定理有
m+n=-a
mn=b-2
即有a=-(m+n)
b=mn+2
所以a^2+b^2
=(m+n)^2+(mn+2)^2
=m^2+2mn+n^2+(mn)^2+4mn+4
=(n^2+1)m^2+(6n)m+(n^2+4)
令f(m)=(n^2+1)m^2+(6n)m+(n^2+4)（m≥2）
因对称轴m=-3n/(n^2+1)0
由基本不等式知y=x+1/x=-[(-x)+1/(-x)]≤-2
即m≤-2，n≤-2
由韦达定理有
m+n=-a
mn=b-2
即有a=-(m+n)
b=mn+2
所以a^2+b^2
=(m+n)^2+(mn+2)^2
=m^2+2mn+n^2+(mn)^2+4mn+4=(n^2+1)m^2+(6n)m+(n^2+4)
令f(m)=(n^2+1)m^2+(6n)m+(n^2+4)（m≤-2）
因对称轴m=-3n/(n^2+1)>0（注意到n≤-2）
则当m≤-2时f(m)min=f(-2)=5n^2-12n+8=5(n-6/5)^2+4/5
而因n≤-2
则n-6/5≤-16/5
于是有(n-6/5)^2≥256/25
即有f(m)min≥52

综上知a^2+b^2≥52

Answer 2

是X的四次方吗

追问

恩

追答

你提出X分类讨论一下