设函数f(x)＝1?a2x2+ax?lnx(a∈R)．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）当a＞1时，讨论函数f（x）
设函数f(x)＝1?a2x2+ax?lnx(a∈R)．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）当a＞1时，讨论函数f（x）的单调性．（Ⅲ）若对任意a∈（3，4）及任...
设函数f(x)＝1?a2x2+ax?lnx(a∈R)．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）当a＞1时，讨论函数f（x）的单调性．（Ⅲ）若对任意a∈（3，4）及任意x1，x2∈[1，2]，恒有(a2?1)2m+ln2＞|f(x1)?f(x2)|成立，求实数m的取值范围．
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（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞）
当a=1时，f（x）=x-lnx，则f′（x）=
令f′（x）＞0，可得x＜0或x＞1，∵x＞0，∴x＞1；
令f′（x）＜0，可得0＜x＜1，∵x＞0，∴0＜x＜1；
∴x=1时，函数f（x）取得极小值为1；
（Ⅱ）f′（x）=
当
＝1，即a=2时，f′(x)＝?
≤0，f（x）在（0，+∞）上是减函数；
当
＜1，即a＞2时，令f′（x）＜0，得0＜x＜
或x＞1；令f′（x）＞0，得
＜x＜1
当
＞1，即1＜a＜2时，令f′（x）＜0，得0＜x＜1或x＞
；令f′（x）＞0，得1＜x＜
综上，当a=2时，f（x）在定义域上是减函数；
当a＞2时，f（x）在（0，
）和（1，+∞）上单调递减，在（
，1）上单调递增；
当1＜a＜2时，f（x）在（0，1）和（
，+∞）上单调递减，在（1，
）上单调递增；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当a∈（3，4）时，f（x）在[1，2]上单调递减
∴当x=1时，f（x）有最大值，当x=2时，f（x）有最小值
∴|f(x1)?f(x2)|≤f(1)?f(2)＝
?
+ln2
∴对任意a∈（3，4），恒有
m+ln2＞
?
+ln2
∴m＞
构造函数g(a)＝
，则g′(a)＝
∵a∈（3，4），∴g′(a)＝
当a=1时，f（x）=x-lnx，则f′（x）=
| x?1 |
| x |
令f′（x）＞0，可得x＜0或x＞1，∵x＞0，∴x＞1；
令f′（x）＜0，可得0＜x＜1，∵x＞0，∴0＜x＜1；
∴x=1时，函数f（x）取得极小值为1；
（Ⅱ）f′（x）=
(1?a)(x?
| ||
| x |
当
| 1 |
| a?1 |
| (x?1)2 |
| x |
当
| 1 |
| a?1 |
| 1 |
| a?1 |
| 1 |
| a?1 |
当
| 1 |
| a?1 |
| 1 |
| a?1 |
| 1 |
| a?1 |
综上，当a=2时，f（x）在定义域上是减函数；
当a＞2时，f（x）在（0，
| 1 |
| a?1 |
| 1 |
| a?1 |
当1＜a＜2时，f（x）在（0，1）和（
| 1 |
| a?1 |
| 1 |
| a?1 |
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当a∈（3，4）时，f（x）在[1，2]上单调递减
∴当x=1时，f（x）有最大值，当x=2时，f（x）有最小值
∴|f(x1)?f(x2)|≤f(1)?f(2)＝
| a |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
∴对任意a∈（3，4），恒有
| (a2?1) |
| 2 |
| a |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
∴m＞
| a?3 |
| a2?1 |
构造函数g(a)＝
| a?3 |
| a2?1 |
| ?(a?3)2+8 |
| (a2?1)2 |
∵a∈（3，4），∴g′(a)＝
