Question

已知函数f（x）=x3-ax2+10，（I）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（II）在区间[

已知函数f（x）=x3-ax2+10，（I）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（II）在区间[1，2]内至少存在一个实数x，使得f（x）＜0成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

（I）当a=1时，f′（x）=3x²-2x，f（2）=14，
曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线斜率k=f′（2）=8，
所以曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为8x-y-2=0．
（II）．有已知得：a＞

x3+10

x2

＝x+

10

x2

，
设g(x)＝x+

10

x2

(1≤x≤2)，g′(x)＝1?

20

x3

，
∵1≤x≤2∴g′（x）＜0
所以g（x）在[1，2]上是减函数．
∴g(x)min＝g(2)＝

9

2

，
所以a＞

9

2

．