Question

已知函数f（x）=ax3-3 2 x2+b，（x∈R）． （1）若曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为

已知函数f（x）=ax3-
3
2 x2+b，（x∈R）．
（1）若曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=6x-8，求a的值；
（2）若a＞0，b=2，当x∈[-1，1]时，求f（x）的最小值．

Answer 1

解：
（1）对f（x）=ax³-3x²/2+b求导就得
f'(x)=3ax²-3x
再有曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=6x-8，即斜率为k=6
也就是
导函数f'(2)=6,即
f'(2)=3a×2²-3×2=6
解得a=1
于是f（x）=x³-3x²/2+b ①
再把x=2代进直线y=6x-8解得y=4
也就是点（2,4）在f(x)上
于是f(2)=2³-3×2²/2+b =4
解得b=2
于是 f（x）=x³-3x²/2+2

（2） b=2
则f（x）=ax³-3x²/2+2
f'(x)=3ax²-3x=3x(ax-1)
令f'(x)<0
解得0<x<1/a
也就是f(x)在区间0<x<1/a上是递减函数
也就是在【-1，0）上递增，（0,1/a)上递减，

下面讨论1/a的情况
①当1/a≤1
于是最小值可以是f(-1）或f(1/a)
有f(-1)=1/2-a,f(1/a)=2-1/(2a²）
显然f(-1)<f(1/a)
于是最小值是f(-1)=1/2-a
②当1/a>1
于是最小值可以是f(-1）或f(1)
其中f(-1)=1/2-a,f(1)=1/2+a
显然
f(-1)<f(1)
于是最小值是f(-1)=1/2-a

Answer 2

见附件。