Question

已知函数f(x)=ax3+bx2-3x（a,b∈R）在点(1,f(1))出的切线方程为y+2=0 求函数的解析式

求详解

Answer 1

已知函数f(x)=ax3+bx2-3x（a,b∈R）在点(1,f(1))出的切线方程为y+2=0
说明在(1,f(1))，f'(1)=0,且，f（1）＝2
f'(x)=3ax^2+2bx-3
f'(1)=3a+2b-3=0
f(1)=a+b-3=2
联立方程组得a=-7,b=12
函数的解析式y=-7x^3+12x^2-3x

追问

为什么f(1)=2?

追答

噢，在点(1,f(1))出的切线方程为y+2=0 ，y=-2=f(1)
噢，我算错了。
f'(1)=3a+2b-3=0
f(1)=a+b-3=－2
联立方程组得a=1,b=0
函数的解析式y=x^3-3x
对不起啊

Answer 2

解：对f(x)求导，
f'(x)=3ax^2+2bx-3，
据题，当x=1时，f'(x)=0，且f(1)=2，
即，3a+2b-3=0，a+b-3=2，
对上述二元一次方程组求解，得，a=-7，b=12，
所以，函数的解析式为：f(x)=-7x^3+12x^2-3x.

Answer 3

函数f(x)=ax^3+bx^2-3x（a,b∈R）在点(1,f(1))处的切线方程为y+2=0，即切线的斜率为0，根据导数的几何意义知f(x)=ax^3+bx^2-3x在x=1时的导数为零，即3a+2b-3=0；
又切点的纵坐标为-2，即f(1)=-2，由此得a+b-3=-2
解得a=1，b=0
于是函数的解析式为f(x)=x^3-3x