Question

已知函数f（x）=ax 3 +bx 2 -3x（a，b∈R），且f（x）在x=1和x=3处取得极值。（1）求函数f（x）的解析式

已知函数f（x）=ax 3 +bx 2 -3x（a，b∈R），且f（x）在x=1和x=3处取得极值。（1）求函数f（x）的解析式；（2）设函数g（x）=f（x）+t，是否存在实数t，使得曲线y=g（x）与x轴有两个交点，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1） 因为f（x）在 和 处取得极值， 所以 和 是 =0的两个根 则 ，解得 故 。 （2）由题意知 令 得 或 随着x变化情况如下表所示： 由上表知 极大值 = 又x取足够大的正数时， x取足够小的负数时， 因此，为使曲线 与x轴有两个交点，结合g（x）的单调性， 必有： 或 ∴ 或 即存在t，且 或 时，使得曲线 与x轴有两个交点。