Question

二元函数z=z（x，y）在点（x0，y0）处存在一阶连续偏导数是它在此点处可微的（　　）A．充分条件B．必要

二元函数z=z（x，y）在点（x0，y0）处存在一阶连续偏导数是它在此点处可微的（　　）A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．以上都不是

Answer 1

由于二元函数z=f（x，y）在点（x，y）处的全增量
△z=f（x+△x，y+△y）-f（x，y）=[f（x+△x，y+△y）-f（x，y+△y）]+[f（x，y+△y）-f（x，y）]…①
①式第一个函数可以看成是x的一元函数f（x，y+△y）的增量，应用拉格朗日中值定理，得
f（x+△x，y+△y）-f（x，y+△y）=f_x（x+θ₁△x，y+△y）△x，其中0＜θ₁＜1
又由于f_x（x，y）在点（x，y）处连续，因此上式可写为
f（x+△x，y+△y）-f（x，y+△y）=f_x（x，y）△x+α△x…②
其中α为△x和△y的函数，且△x和△y趋于0时，α趋于0
同理，①式的第二函数也可以写成
f（x，y+△y）-f（x，y）=f_y（x，y）△y+β△y…③
其中β为△x和△y的函数，且△x和△y趋于0时，β趋于0
由②和③式，可知
△z=f_x（x，y）△x+f_y（x，y）△y+α△x+β△y
即

lim

ρ→0

△z?[fx(x，y)△x+fy(x，y)△y]

ρ

＝

lim

ρ→0

α△x+β△y

ρ

＝0
即z=f（x，y）在该点可微
但函数z=z（x，y）在点（x₀，y₀）处可微其一阶偏导数不一定连续
如f(x，y)＝

(x2+y2)sin 1 x2+y2 ，(x，y)≠(0，0) 0 ，(x，y)＝(0，0)

容易求得，f_x（0，0）=f_y（0，0）=0
且（x，y）≠（0，0）时，
fx(x，y)＝2xsin

1

x2+y2

?

2x

x2+y2

cos

1

x2+y2

fy(x，y)＝2ysin

1

x2+y2

?

2y

x2+y2

cos

1

x2+y2

由于

lim

ρ→0

△f?fx(0，0)△x?fy(0，0)△y

ρ

=

lim

ρ→0

ρsin

1

ρ2

＝0
故f（x，y）在（0，0）可微
而

lim

(x，y)→(0，0)

2x

x2+y2

cos

1

x2+y2

和

lim

(x，y)→(0，0)

2y

x2+y2

cos

1

x2+y2

都不存在，
因此，

lim

(x，y)→(0，0)

fx(x，y)和

lim

(x，y)→(0，0)

fy(x，y)不存在
即一阶偏导数在（0，0）不连续
故二元函数z=f（x，y）的两个偏导数

?z

?x

，

?z

?y

在点（x，y）处连续是z=f（x，y）在该点可微的充分条件．