Question

大家帮我解这道高数题；y''+y=xsin2x

求解

Answer 1

特征方程 r^2+1=0, r=±i, 设特解 y=(ax+b)sin2x+(cx+d)cos2x, 得
y'=(-2cx-2d+a)sin2x+(2ax+2b+c)cos2x,
y''=(-4ax-4b-4c)sin2x+(-4cx-4d+4a)cos2x
代入微分方程得 (-3ax-3b-4c)sin2x+(-3cx-3d+4a)cos2x=xsin2x, 则
-3a=1, -3b-4c=0, -3c=0, -3d+4a=0, 解得
a=-1/3, c=0, b=0, d=-4/9
则特解是 y=-(x/3)sin2x-(4/9)cos2x
通解为 y=C1sinx+C2cosx-(x/3)sin2x-(4/9)cos2x
其中 C1， C2 为任意常数。

Answer 2

提示 运用欧拉方程： e^(ix) = cosx + isinx
sin2x = e^(2ix) 的 虚部

先求 线性方程的特征根
z^ + 1 = 0 ;
z1 = i; z2= -i

求方程特解 y''+ y = x * e^(2ix)
设 y = (Ax + B) * e^(2ix)
y''+ y = ( 4Ai - 3B - 3Ax ) * e^(2ix) = x * e^(2ix)
对比系数 可得
-3A = 1
4Ai - 3B = 0
解出 得到 A = -1/3 B = -4i/9
因此 y''+ y = x * e^(2ix) 的 通解 为
y = C1 * e^(ix) + C2 * e^(ix) + (-x/3 + ( -4i/9 ) ) * e^(2ix) ( C1 C2 为 任意 常数 ）
y = C1 * e^(ix) + C2 * e^(ix) - ( x/3 ) * e^(2ix) -( 4/9 )i * e^(2ix)
设 C1 C2为 实数 取 y 的 虚部 就可得到原方程的通解
y = C1 * cosx + C2 * sinx - ( x/3 ) * sin2x -( 4/9 )cos2x
( C1 C2 为 任意 常数 ）