Question

（不等式选讲选做题）已知x+2y+3z=1，求x 2 +y 2 +z 2 的最小值______

（不等式选讲选做题）已知x+2y+3z=1，求x 2 +y 2 +z 2 的最小值______．

Answer 1

解法一：由柯西不等式可知：（x+2y+3z） 2 ≤（x 2 +y 2 +z 2 ）（1 2 +2 2 +3 3 ）， ∴ x 2 + y 2 + z 2 ≥ 1 14 ， 当且仅当 x 1 = y 2 = z 3 ，x+2y+3z=1，即 x= 1 14 ， y= 1 7 ， z= 3 14 时取等号． 即x 2 +y 2 +z 2 的最小值为 1 14 ． 解法二：设向量 a =(1，2，3) ， b =(x，y，z) ， ∵ | a ? b |≤| a | | b | ，∴1=x+2y+3z≤ 1 2 + 2 2 + 3 2 x 2 + y 2 + z 2 ， ∴ x 2 + y 2 + z 2 ≥ 1 14 ，当且仅当 a 与 b 共线时取等号，即 x 1 = y 2 = z 3 ，x+2y+3z=1，解得 x= 1 14 ， y= 1 7 ， z= 3 14 时取等号． 故答案为 1 14 ．