Question

选修4-5：不等式选讲已知x，y，z为实数，且 x+2y+3z= 7 ，（Ⅰ）求x 2 +y 2 +z 2 的最小值

选修4-5：不等式选讲已知x，y，z为实数，且 x+2y+3z= 7 ，（Ⅰ）求x 2 +y 2 +z 2 的最小值；（Ⅱ）设|2t-1|=x 2 +y 2 +z 2 ，求实数t的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）由柯西不等式（1 2 +2 2 +3 2 ）（x 2 +y 2 +z 2 ）≥（1?x+2?y+3?z） 2 得 14( x 2 + y 2 + z 2 )≥( 7 ) 2 =7 ，所以 x 2 + y 2 + z 2 ≥ 1 2 ， 当且仅当 |x|= 1 2 |y|= 1 3 |z| 时取等号，即x 2 +y 2 +z 2 的最小值为 1 2 …（3分） （Ⅱ）由（Ⅰ）得 |2t-1|≥ 1 2 ，则 2t-1≥ 1 2 或2t-1≤- 1 2 ，解得 t≥ 3 4 或 t≤ 1 4 ， 即实数t的取值范围是 (-∞， 1 4 ]∪[ 3 4 ，+∞) …（7分）