Question

如图，两个工厂A，B相距2km，点O为AB的中点，现要在以O为圆心，2km为半径的圆弧MN上的某一点P处建一幢办

如图，两个工厂A，B相距2km，点O为AB的中点，现要在以O为圆心，2km为半径的圆弧MN上的某一点P处建一幢办公楼，其中MA⊥AB，NB⊥AB。据测算此办公楼受工厂A的“噪音影响度”与距离AP的平方成反比，比例系数是1，办公楼受工厂B的“噪音影响度” 与距离BP的平方也成反比，比例系数是4，办公楼受A，B两厂的“总噪音影响度”y是受A，B两厂“噪音影响度”的和，设AP为xkm。（Ⅰ）求“总噪音影响度”y关于x的函数关系，并求出该函数的定义域；（Ⅱ）当AP为多少时，“总噪音影响度”最小？

Answer 1

解：（Ⅰ）连接OP，设 则 ， 在△AOP中，由余弦定理得 ， 在△BOP中，由余弦定理得 ， ∴ ，则 ， ∵ ，则 ，∴ ，∴ ， ∴ 。 （Ⅱ）令 ， ∴ ， 由 ，得 或t=-10（舍去）， 当 ，函数在 上单调递减； 当 ，函数在 上单调递增； ∴当 时，即 时，函数有最小值，也即当AP为 （km）时，“总噪音影响度”最小。