Question

已知函数f（x）=（x2-ax+a）ex-x2，a∈R．（Ⅰ）设函数g（x）=f(x)x，当a=0时．讨论g（x）的单调性．（Ⅱ

已知函数f（x）=（x2-ax+a）ex-x2，a∈R．（Ⅰ）设函数g（x）=f(x)x，当a=0时．讨论g（x）的单调性．（Ⅱ）若函数f（x）在x=0处取得极小值，求a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）由题知，a=0时，g（x）=xe^x-x 所以g'（x）=（x+1）e^x-1，
显然当x＜0时，g'（x）＜0，当x＞0时，g'（x）＞0，∴g（x）在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增；
（Ⅱ）f'（x）=（x²+（2-a）x）e^x-2x=x[（x+2-a）e^x-2]；
由于函数f（x）在x=0处取得极小值，所以x＜0时f'（x）＜0，所以（x+2-a）e^x-2＞0；
同样，x＞0时，f'（x）＞0，（x+2-a）e^x-2＞0；
若设h（x）=（x+2-a）e^x-2，则h′（x）=e^x（x+3-a），所以在（-∞，a-3）上h′（x）＜0，所以h（x）在（-∞，a-3）上单调递减；
同样h（x）在（a-3，+∞）上单调递增．则h（0）≥0就会使（x+2-a）e^x-2＞0恒成立；
所以2-a-2≥0，所以a≤0，所以a的取值范围是：（-∞，0]．