Question

已知数列{an}的前n项和Sn，满足：a1=1，Sn-2Sn-1=1，n∈N*，且n≥2．（1）求证：数列{an}是等比数列；（2

已知数列{an}的前n项和Sn，满足：a1=1，Sn-2Sn-1=1，n∈N*，且n≥2．（1）求证：数列{an}是等比数列；（2）已知cn=nan（n∈N*），数列{cn}的前n项和Tn，若存在正整数M，m，使m≤Tn＜M对任意正整数n恒成立，求M，m的值．

Answer 1

（1）当n≥2时，由

Sn?2Sn?1＝1 Sn+1?2Sn＝1

两式相减得a_n+1-2a_n=0，
又当n=2时，a₂=2，
所以

an+1

an

＝2(n∈N*)，
所以{a_n}是以1为首项，2为公比的等比数列．
（2）由（1）得an＝2n?1，∴cn＝n×(

1

2

)n?1，
∴Tn＝1×(

1

2

)0+2×(

1

2

)1+3×(

1

2

)2+…+(n?1)×(

1

2

)n?2+n×(

1

2

)n?1
∴

1

2

Tn＝1×(

1

2

)1+2×(

1

2

)2+3×(

1

2

)3+…+(n?1)×(

1

2

)n?1+n×(

1

2

)n
两式相减得

1

2

Tn＝(

1

2

)0+(

1

2

)1+(

1

2

)2+…+(

1

2

)n?1?n×(

1

2

)n＝2?(n+2)×(

1

2

)n
∴T_n=4?(n+2)×(

1

2

)n?1＜4，
所以M可以取大于等于4的任意整数，
又∵Tn+1?Tn＝(n+1)×(

1

2

)n＞0∴T_n≥T₁=1，
综上，存在正整数M，m，使得m≤T_n＜M对任意正整数n恒成立，其中m=1，M≥4且M∈N．