Question

如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，E、F分别是AB，PD的中点．（1）求证：AF∥平面PCE；（2）若二面

如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，E、F分别是AB，PD的中点．（1）求证：AF∥平面PCE；（2）若二面角P-CD-B为45°，AD=2，CD=3，求四面体FPCE的体积．

Answer 1

解答：（1）证明：取PC中点M，连ME，MF，
∵FM∥CD，FM=

1

2

CD，AE∥CD，AE=

1

2

CD，
∴AE∥FM，且AE=FM，
即四边形AFME是平行四边形，
∴AF∥EM，
∵AF?平面PCE，EM?平面PCE，
∴AF∥平面PCE；
（2）解：∵PA⊥平面AC，CD⊥AD，∴CD⊥PD
∴∠PDA是二面角P-CD-B的平面角，∴∠PDA=45°
∴△PAD是等腰直角三角形，而EM∥AF．
又∵AF⊥CD∴AF⊥面PCD，
而EM∥AF∴EM⊥面PCD
又EM?面PEC，∴面PEC⊥面PCD
在面PCD内过F作FH⊥PC于H，则PH⊥平面PCE，
则FH为点F到面PCE的距离．
由已知PD=2

2

，PF=

1

2

PD=

2

，PC=

17

∵△PFH∽△PCD，
∴

FH

PF

=

CD

PC

，∴FH=

2 ×3

17

=

3 34

17

，
∴四面体FPCE的体积V_F-PEC=

1

3

FH?S_△PEC=

1

3

×

3 34

17

×

1

2

×

17

×

2

=1．