Question

如图，在三棱锥S-ABC中，侧面SAC与底面ABC垂直，E，O分别是SC，AC的中点，SA=SC=2，BC=12AC，∠ASC=∠ACB

如图，在三棱锥S-ABC中，侧面SAC与底面ABC垂直，E，O分别是SC，AC的中点，SA=SC=2，BC=12AC，∠ASC=∠ACB=90°．（Ⅰ）求证：OE⊥平面SBC；（Ⅱ）若点F为线段BC的中点，求异面直线SF与AB所成角的正切值．

Answer 1

（Ⅰ）∵E，O分别是SC，AC的中点，∴EO∥SA ①
∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC，∠ASC=90°，∴SC⊥SA，
∵平面SAC⊥平面ABC，
∴BC⊥平面SAC，
∵SA?平面SAC，
∴BC⊥SA，
又SA⊥SC，BC∩SC=C，
∴SA⊥平面SBC  ②，
由①②知OE⊥平面SBC．
（Ⅱ）连接OF，OS，
∵O，F是AC，BC的中点，
∴OF∥AB且OF=

1

2

AB，
∴∠OFS是异面直线SF与AB所成的角．
等腰直角三角形SAC中AC=

SA2+SC2

＝2，且SO=1，SO⊥AC，
又平面SAC⊥平面ABC，
∴SO⊥平面ABC，
∵OF?平面ABC，
∴S0⊥OF，
∴OF=

1

2

AB＝

1

2

AB2+BC2

＝

5

2

，
∴tan∠SFO＝

SO

OF

＝

2 5

5

．