Question

一道积分题，如何积？（2）

Answer 1

先说明下后面的定积分都用【】表示积分区间，因为代码不好写
先令x=兀-t，原式=lnsin(兀-t)(-1)dt【兀，兀/2】=lnsintdt【兀/2，兀】，相加就得到
lnsintdt【0，兀】=2lnsintdt【0，兀/2】记为①式
然后令x=兀/2-t，同样变换之后可以得到原式=lncostdt【0，兀/2】
所以原式=1/2[lnsintdt【0，兀/2】+lncostdt【0，兀/2】]
=1/2lnsintcostdt【0.兀/2】=(1/2)ln(1/2)sin2tdt【0，兀/2】
=(1/2)*(兀/2)(ln1/2)+1/2ln2tdt【0，兀/2】
在这里再一次换元，令2t=w可得到
原式=(-兀/4)ln2+(1/4)lnsintdt【0，兀】
再结合①式知
原式又可表示为(1/2)lnsintdt【0，兀】
所以有
(-兀/4)ln2+(1/4)lnsintdt【0，兀】=(1/2)lnsintdt【0，兀】
就可以解出lnsintdt【0，兀】=-兀ln2
所以lnsintdt【0，兀/2】=(1/2)lnsintdt【0，兀】=(-兀/2)ln2

Answer 2

∵ ∫lnsinxdx│(x=0 to π/2)
=∫lnsin(2x)d(2x)│(x=0 to π/4)
=2∫ln(2sinxcosx)dx│(x=0 to π/4)
=2∫ln2dx│(x=0 to π/4)+2∫lnsinxdx│(x=0 to π/4)+2∫lncosxdx│(x=0 to π/4)
=π/2*ln2+2∫lnsinxdx│(x=0 to π/4)+2∫lnsinxdx│(x=π/4 to π/2)
=π/2*ln2+2∫lnsinxdx│(x=0 to π/2)
∴ ∫lnsinxdx│(x=0 to π/2)=-π/2*ln2