Question

如图所示，在⊙O中， AD = AC ，弦AB与弦AC交于点A，弦CD与AB交于点F，连接

如图所示，在⊙O中， AD = AC ，弦AB与弦AC交于点A，弦CD与AB交于点F，连接BC．（1）求证：AC 2 =AB?AF；（2）若⊙O的半径长为2cm，∠B=60°，求图中阴影部分面积．

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Answer 1

（1）证明：∵ AD = AC ， ∴∠ACD=∠ABC，又∠BAC=∠CAF， ∴△ACF ∽ △ABC， ∴ AC AB = AF AC ，即AC 2 =AB?AF； （2）连接OA，OC，过O作OE⊥AC，垂足为点E， 如图所示： ∵∠ABC=60°，∴∠AOC=120°， 又∵OA=OC，∴∠AOE=∠COE= 1 2 ×120°=60°， 在Rt△AOE中，OA=2cm， ∴OE=OAcos60°=1cm， ∴AE= OA 2 -OE 2 = 3 cm， ∴AC=2AE=2 3 cm， 则S 阴影 =S 扇形OAC -S △AOC = 120π ?2 2 360 - 1 2 ×2 3 ×1=（ 4π 3 - 3 ）cm 2 ．