Question

在等比数列{an}（n∈N+）中，a1＞1，公比q＞0．设bn=log2an，且b1+b3+b5=6，b1b3b5=0．（1）求证：数列{b

在等比数列{an}（n∈N+）中，a1＞1，公比q＞0．设bn=log2an，且b1+b3+b5=6，b1b3b5=0．（1）求证：数列{bn}是等差数列；（2）求{bn}的前n项和Sn及{an}的通项an．

Answer 1

（1）证明：由题意得，b_n=log₂a_n，
∴b_n+1-b_n=log₂a_n+1-log₂a_n
=

log

an+1 an 2

=log₂q为常数，
∴数列{b_n}是以公差d=log₂q等差数列．
（2）解：由（1）和b₁+b₃+b₅=6，
得3b₃=6，即b₃=2，
∴b₃=log₂a₃=2，得b₃=2，
∵a₁＞1，∴b₁=log₂a₁＞0．
∵b₁b₃b₅=0，∴b₅=0，即log₂a₅=0，得a₅=1．
∴q2＝

a5

a3

=

1

4

，由q＞0得q=

1

2

，
由a₃=a₁q²=4得，a₁=16，
∴a_n=a₁q^，n-1=2^5-n（n∈N^*）．
由b₁=log₂a₁=log₂16=4，b₃=2得，公差d=-1，
∴S_n=nb₁+

n(n?1)

2

×d=4n-

n(n?1)

2

=

9n?n2

2

，
故{b_n}的前n项和S_n=

9n?n2

2

．