Question

计算运动轨迹

一粒子总是受到一个与运动方向垂直的力的作用，求这个粒子运动的轨迹方程？
设这个粒子的初速度为v，力F=v(x)

Answer 1

光知道力的方向，不知道力的大小（及其变化），严格来说是无法求解轨迹的。那些说圆周运动的是不正确的解答，比如粒子完全可以走螺旋式攀升的轨道，轨迹未必是封闭圆。

唯一可以确定的是，因为该力始终不做功，所以粒子的速度大小不会因为该力而发生变化。

当法向力的大小恒定，而且总在粒子速度的右手方向（或左手方向）的话，可以证明粒子在法向力的平面内会进行匀速圆周运动。如果粒子在平面外的速度不为零的话，即会进行螺旋运动，学过高中物理的都解过这种题目的，就是带电粒子在匀强磁场内受洛伦兹力后的运动轨迹。

如果是力大小恒定的情况，可以对平面内圆周运动做严格的高等数学微积分证明：

不过如果受力大小并不恒定的情况，上面推导直到列出Vx和Vy二次微分方程仍然成立，但是后面的角速度w就是个变数随着F的大小变化的量，所以后面的结果就都不成立了。

要详细解答，就要用曲率半径等高深的知识了，建议楼主去看看理论力学方面的书，是大学物理学专业的课程，我本身不是物理专业出身，能力有限也帮不了你。

追问

您的回答我非常满意。先表示感谢！我想再问一下：如果粒子的轨迹如图所示，这个粒子的受力，应当是如何的？（图画的不均，见笑） 

追答

我把你这个图理解为三维的，你这个情况是螺旋形轨迹。就是说受力一直在一个平面内，但是粒子有垂直平面的初速度，所以在平面内，是匀速圆周运动，在垂直平面内是匀速直线运动。合成后，就是三维螺旋线的轨迹。

如果是二维的话，就比较复杂了，可以看出，在螺旋下部，曲率半径比较小，受力比较大。在螺旋的上部，曲率半径比较大，受力比较小。

Answer 2

圆周运动，方程就是圆的方程

追问

我要的是具体推导过程

Answer 3

首先，垂直于物体运动方向的力对物体不做功，所以物体的动能是不变的，故物体的速度大小不变，而方向却一直改变，方向是可以分解的，分为V（x）和V（y），设物体的质量为m,则可以推导出½mv(x)²+½mv(y)²=½mv²，简化后即得到：v（x）²+v(y)²=v²，这个运动轨迹就是圆，轨迹与作用力大小无关，力的大小只能改变完成圆周运动的时间，轨迹的半径只与初速度有关。
希望能帮到你