Question

如图，△ABC内接于⊙O，且AB＝AC，点D在⊙O上，AD⊥AB于点A， AD与 BC交于点E，F在DA的延长线上，且AF＝A

如图，△ABC内接于⊙O，且AB＝AC，点D在⊙O上，AD⊥AB于点A， AD与 BC交于点E，F在DA的延长线上，且AF＝AE． (1)求证：BF是⊙O的切线； (2)若AD＝4， ，求BC的长．

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

Answer 1

(1)见解析(2)

（1）证明：连接BD， ∵AD⊥AB，即∠BAD=90 0 ∴BD是直径 ∵AB=AC则∠ABE=∠ADB ∵AE=AF，∠BAE=∠BAF，AB=AB ∴△ BAE ≌△ BAF ， ∴∠ABE=∠ABF，BE=BF， ∴∠ADB=∠ABF，∠AFB+∠ADB=∠AFB+∠ABF=90 0    ∴∠FBD=90 0 即BD⊥BF， ∴BF是⊙O的切线 （2）∵在Rt△BAD中 ， AD＝4， ∴AB=3，BD=5， ∴BF=BE= ，AE= ，DE= ∵∠DCE=∠BAE，∠DEC=∠BEA ∴△DEC∽△BEA ∴ ,解得CE= ∴BC=BE+CE= （1）连接BD，因AD⊥AB，所以BD是直径．证明BF⊥DB即可． （2）作AG⊥BC于点G．由（1）中结论∠D=∠2=∠3，分别把这三个角转化到直角三角形中，根据 ，求相关线段的长