Question

小学奥数题！求人解答！非常感谢！

在正三角形中任意取一点P，连接PA,PB,PC,过P点做三条边的垂线，E,F,G分别为垂足，已知三角形ABC的面积是24平方厘米，求阴影部分的面积。

Answer 1

如图△ABC为等边三角形，面积为24，P为三角形内任意一点，PE，PG，PF分别为各边上的高，求阴影部分面积。

解：

过P点作三边的平行线，分别交三边与IJKLMN六个点

因为PK∥AC，PI∥AB

所以△PIK为等边三角形

又因为PG⊥BC

所以PG将等边△PIK分为面积相等的两部分，即S△PGI=S△PGK

同理可得△PJL和△PMN为等边三角形，有S△PEL=S△PEJ，S△PFN=S△PFM

因为PI∥AB，PJ∥BC

所以四边形BIPJ为平行四边形，对角线BP分得面积相等的两部分，即S△PBI=S△PBJ

同理四边形CNPK和ALPM均为平行四边形，即S△PCN=S△PCK，S△PAL=S△PAM

图中阴影部分面积

S阴影=S△PBI+S△PGI+S△PCN+S△PFN+S△PAL+S△PEL

图中空白部分面积

S空白=S△PBJ+S△PGK+S△PFM+S△PAM+S△PEJ

所以S阴影=S空白

所以S阴影=S△ABC/2=24/2=12

这题有一定难度，这里给出详细解答，希望能帮助你！

Answer 2

既然是任取一点，那就假设它是外心好了~~这样P点到A，B，C各点距离相等，也即EFG分别是BC，AB，AC中点，那显然各小三角形面积相等，所以阴影部分面积是大三角形面积的一半，即12平方厘米。
不知道能不能这样假设P点是特殊点，我表示没推出一般性结论，这样做可能不太严谨，但也只能这么给答案了……

Answer 3

24的一半即12平方厘米

Answer 4

因为E,F,G分别为垂足
所以阴影部分分别与空白部分的面积相等。
解：24÷2＝12（平方厘米）