Question

（本小题满分7分）已知：等边三角形ABC如图1，P为等边△ABC外一点，且∠BPC=120°．试猜想线段BP、PC、AP

（本小题满分7分）已知：等边三角形ABC如图1，P为等边△ABC外一点，且∠BPC=120°．试猜想线段BP、PC、AP之间的数量关系,并证明你的猜想； （2）如图2，P为等边△ABC内一点，且∠APD=120°．求证：PA+PD+PC＞BD

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Answer 1

猜想：AP="BP+PC                " ------------------------------1分 （1）证明：延长BP至E，使PE=PC，联结CE ∵∠BPC=120° ∴∠CPE=60°，又PE=PC ∴△CPE为等边三角形 ∴CP=PE=CE，∠PCE=60° ∵△ABC为等边三角形 ∴AC=BC，∠BCA=60° ∴∠ACB=∠PCE， ∴∠ACB+∠BCP=∠PCE+∠BCP 即：∠ACP=∠BCE ∴△ACP≌△BCE ∴AP=BE-------------------------2分 ∵BE=BP+PE ∴AP="BP+PC" --------------------------------------------- 3分 （2）方法一： 在AD外侧作等边△AB′D     --------------------- 4分 则点P在三角形ADB′外 　　 ∵∠APD=120°∴由（1）得PB′=AP+PD 在△PB′C中，有PB′+PC＞CB′，  ∴PA+PD+PC＞CB′      ------------------------------------ 5分 ∵△AB′D、△ABC是等边三角形 ∴AC=AB，AB′=AD， ∠BAC=∠DA B′=60° ∴∠BAC+∠CAD=∠DAB′+∠CAD 即：∠BAD=∠CAB′ ∴△AB′C≌△ADB   ∴C B′="BD         " -------------------------------------- 6分 ∴PA+PD+PC＞BD    ----------------------------------- 7分 方法二：延长DP到M使PM=PA，联结AM、BM ∵∠APD=120°， ∴△APM是等边三角形， -----------------------------4分 ∴AM=AP，∠PAM=60° ∴DM="PD+PA         " ------------------------------5分 ∵△ABC是等边三角形 ∴AB=AC，∠BAC=60° ∴△AMB≌△APC ∴BM="PC          " -------------------------------------------6分 在△BDM中，有DM + BM＞BD，  ∴PA+PD+PC＞BD      ----------------------------------------

略