已知函数f（x）=lnx-a(x?1)x+b．（1）当b=1时，若函数f（x）在（0，+∞）上为单调增函数，求a的取值范围
已知函数f（x）=lnx-a(x?1)x+b．（1）当b=1时，若函数f（x）在（0，+∞）上为单调增函数，求a的取值范围；（2）当a＞0且b=0时，求证：函数f（x）存...
已知函数f（x）=lnx-a(x?1)x+b．（1）当b=1时，若函数f（x）在（0，+∞）上为单调增函数，求a的取值范围；（2）当a＞0且b=0时，求证：函数f（x）存在唯一零点的充要条件是a=1；（3）设m，n∈（0，+∞），且m≠n，求证：m?nlnm?lnn＜m+n2．
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（1）当b=1时，f（x）=lnx-
，且x∈（0，+∞），∴f′（x）=
-
，
∵函数f（x）在（0，+∞）上为单调增函数，∴f′（x）=
-
≥0在（0，+∞）上恒成立，
∴
≥
，即2a≤
=x+
+2恒成立，因此2a≤（x+
+2）min即可；
∵x＞0，∴x+
+2≥2
+2=4，∴2a≤4，∴a≤2．
（2）当a＞0且b=0时，f（x）=lnx+
-a，∴f′（x）=
-
=
，令f′（x）=0，得x=a，
易知f（x）在（0，a）递减，在（a，+∞）递增，∴f（x）min=f（a）=lna+1-a，
∴函数f（x）存在唯一零点的充要条件是lna+1-a=0，
令F（x）=lnx+1-x，∴F′（x）=
-1=
，由F′（x）=0得x=1，
易知F（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，∴F（x）max=F（1）=ln1+1-1=0，
∴F（x）=0?x=1，
∴lna+1-a=0?F（a）=0?a=1，
∴函数f（x）存在唯一零点的充要条件是a=1；
（3）∵m-n与lnm-lnn同号且不等式的右边为
，∴不妨设m＞n，
原不等式两边同除以n得
| a(x?1) |
| x+1 |
| 1 |
| x |
| 2a |
| (x+1)2 |
∵函数f（x）在（0，+∞）上为单调增函数，∴f′（x）=
| 1 |
| x |
| 2a |
| (x+1)2 |
∴
| 1 |
| x |
| 2a |
| (x+1)2 |
| (x+1)2 |
| x |
| 1 |
| x |
| 1 |
| x |
∵x＞0，∴x+
| 1 |
| x |
x?
|
（2）当a＞0且b=0时，f（x）=lnx+
| a |
| x |
| 1 |
| x |
| a |
| x2 |
| x?a |
| x2 |
易知f（x）在（0，a）递减，在（a，+∞）递增，∴f（x）min=f（a）=lna+1-a，
∴函数f（x）存在唯一零点的充要条件是lna+1-a=0，
令F（x）=lnx+1-x，∴F′（x）=
| 1 |
| x |
| 1?x |
| x |
易知F（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，∴F（x）max=F（1）=ln1+1-1=0，
∴F（x）=0?x=1，
∴lna+1-a=0?F（a）=0?a=1，
∴函数f（x）存在唯一零点的充要条件是a=1；
（3）∵m-n与lnm-lnn同号且不等式的右边为
| m+n |
| 2 |
原不等式两边同除以n得
| ||
| ln |
