Question

如图,在4×4的方格中已经填有16个数字,可以对格中数字进行如下操作

将一行或一列或一条对角线上的数同时加上或减去一个自然数，能否经过有限次操作后使16个数相等？ 过程~~~~~~
4 7 6 1
3 8 7 2
1 3 11 5
3 4 2 3

Answer 1

不能
否则假设经过n次操作后能使16个数相等，设第n次加上或减去的数为an
（an>0表示加上，an<0表示减去，an是整数）
且最后16个数都变为k，由于整数之间的加减只能得到整数，所以k是整数
不管是一行，一列，还是一条对角线，每次都有4个数同时被加或被减
一开始所有数字的和为4+7+6+1+3+8+7+2+1+3+11+5+2+4+2+3=70
则有70+4*a1+4*a2+4*a3+……+4*an=16k
即70=16k-4*(a1+a2+……+an)
两边同除以4得17.5=4k-(a1+a2+……+an)
由于k，a1，a2，……，an都是整数，所以等式右边是一个整数，而等式左边的17.5不是整数
这样推出了矛盾，说明假设是错误的，所以是不能的