Question

已知：△ABC为等边三角形，点M是射线BC上任意一点，点N是射线CA上任意一点，且BM=CN，直线BN与AM相交于Q

已知：△ABC为等边三角形，点M是射线BC上任意一点，点N是射线CA上任意一点，且BM=CN，直线BN与AM相交于Q点（1）观察图中是否有全等三角形？若有，直接写出：______；（写出一对即可）（2）求∠BQM的度数．

Answer 1

（1）有全等三角形，△ABM≌△BCN，△ACM≌△BAN，
①△ABM≌△BCN，
证明如下：∵△ABC为等边三角形，
∴AB=BC，∠ABC=∠ACB=60°，
∵在△ABM与△BCN中，

AB＝BC ∠ABC＝∠ BM＝CN

ACB，
∴△ABM≌△BCN（SAS），
②△ACM≌△BAN，
证明如下：∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC=BC，∠BAC=∠ACB=60°，
∴180°-∠BAC=180°-∠ACB，
即∠BAN=∠ACM，
∵BM=CN，
∴BM-BC=CN-AC，
即CM=AN，
∵在△ACM与△BAN中，

AB＝AC ∠BAN＝∠ACM AN＝CM

，
∴△ACM≌△BAN（SAS）；

（2）根据（1）可得△ABM≌△BCN，
∴∠M=∠N，
根据三角形的外角性质，∠M+∠CAM=∠ACB=60°，∠BQM=∠N+∠NAQ，
又∵∠CAM=∠NAQ（对顶角相等），
∴∠BQM=∠ACB=60°．