Question

离散数学问题求帮忙 详情如下。

三 函数与群 （28分）的那四题怎么解答，求

Answer 1

1、封闭性证明
假设x∈A，y∈A，则要证明A对于运算*是封闭的，需要证明x*y * H * (x*y)ˉ¹ = H。
证明：
∵ x∈A，y∈A
∴ x * H * xˉ¹ = H， （1）
y * H * yˉ¹ （2）
∴ (x * y) * H * (x * y)ˉ¹ = (x * y) * x * H * xˉ¹ * (x * y)ˉ¹ （带入（1）式）
∴ (x * y) * H * (x * y)ˉ¹ = x * y * x * y * H * yˉ¹ * xˉ¹ * (x*y)ˉ¹ （带入（2））式
∴ (x * y) * H * (x * y)ˉ¹ = (x*y*x*y) * H * yˉ¹ * xˉ¹ * yˉ¹ * xˉ¹
∴ (x * y) * H * (x * y)ˉ¹ = (x*y*x*y) * H * (x*y*x*y)ˉ¹ （3）
∵ x * H * xˉ¹ = H
∴ 将（3）式化简为： (x * y) * H * (x * y)ˉ¹ = H，得证。
2、证明*运算适用于结合律，因为A中的所有元素都是群G中的元素，所以它们对运算*都是适用于结合律的。
3、证明A中存在幺元
证明：
设a为G中的幺元，
a * H * aˉ¹ = H，因为H是G的子群，H中的元素也都是属于群G的，故幺元a亦然适用于子群H。
故a∈A，也是A的幺元，得证。
4、证明A中存在逆元
证明：
假设∀x∈A的逆元为y，有x*y = a（a为幺元），y = xˉ¹，yˉ¹ = x
y * H * yˉ¹ = xˉ¹ * H * x
∵ x * H * xˉ¹ = H
∴ xˉ¹ * x * H * xˉ¹ * x = a * H * xˉ¹ * x
∴ xˉ¹ * x * H * xˉ¹ * x = H * xˉ¹ * x
∵ A中*运算适用结合律
∴ x^-1 * x * H * xˉ¹ * x = H * (xˉ¹ * x) = H * a = H
∴ y * H * yˉ¹ = H
∴ ∀x∈A都存在逆元y∈A，得证。

Answer 2

证明自同构？