Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E为BC的中点，BC＝2AD，EA＝ED＝2，AC与ED相交于点F. (1)求证：梯形ABCD是

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E为BC的中点，BC＝2AD，EA＝ED＝2，AC与ED相交于点F. (1)求证：梯形ABCD是等腰梯形；(2)当AB与AC具有什么位置关系时，四边形AECD是菱形？请说明理由，并求出此时菱形AECD的面积．

Answer 1

见解析

(1)证明：∵AD∥BC， ∴∠DEC＝∠EDA， ∠BEA＝∠EAD， 又∵EA＝ED， ∴∠EAD＝∠EDA， ∴∠DEC＝∠AEB， 又∵EB＝EC， ∴△DEC≌△AEB， ∴AB＝CD， ∴梯形ABCD是等腰梯形． (2)解：当AB⊥AC时，四边形AECD是菱形． 证明：∵AD∥BC，BE＝EC＝AD， ∴四边形ABED和四边形AECD均为平行四边形．∴AB＝ED，∵AB⊥AC， ∴AE＝BE＝EC，∴四边形AECD是菱形． 过A作AG⊥BE于点G， ∵AE＝BE＝AB＝2， ∴△ABE是等边三角形， ∴∠AEB＝60°，∴AG＝ ， ∴S 菱形AECD ＝EC·AG＝2× ＝2 .