Question

物理碰撞问题

我研究球碰撞，中间无数个质量介于二者之间的过度球，求原静止球的速度，P=原动球质量/原静止球质量；我得到了如上极限，解不出来，请帮忙！
实际试算，很可能是P的开2次方。这时原静止球的动能等于原动球的动能，也就是说，原动球的能量全部传递到了原静止球，其他球没有能量，都处于静止状态。而原动球和原静止球的动量却不相等，违反了动量守恒定理。
谁能解释？
如果没有中间质量呈等比数列的过度球，原静止球的速度等于2/(1+1/P)，以上假设原动球的速度为1.这时动量和动能均守恒。为什么加上了无数个中间质量呈等比数列的过度球后，动量就不守恒了呢？
单单从数学角度讲，是不是所有的数（包括有理数、无理数、超越数）都可以表示成：[1+（或-）含n的无穷小]的含n的无穷大次方？超越数圆周率能不能这样表示？我们知道，超越数e能这样表示。

Answer 1

算错了，鉴定完毕。。

追问

你算算是多少？另外你解一下这个极限？极限确实存在！

追答

极限=P
解法，
n->∞时。分子=2^n×P
分母，n->∞时，(P)^(1/n)->1，分母->2^n
原式=分子÷分母=P

设原来质量Pm，最终质量m，初速度v0，末速度就是V末=极限×v=Pv
经过一系列球以后，所有球的速度趋近于0，末球速度趋近于Pv
Pm×v=m×Pv
动量依然守恒。
但是显然动能有了损失。损失是中间各球都带着能量，虽然自身趋于零，这些球的能量和却趋近于损失的能量。
你有功夫就自己再算一下能量看看。

开始以为你说“很可能是P的开2次方”是你算的结果，原来是你瞎猜的，你原来是根据能量守恒来瞎猜的。。。

追问

哥们，你明显错了
我的式子中分子是2×P开n次方，分母是1+P开n次方。
你的分析中，
Pm×v=m×Pv
其他球没有动量？没有动量，如何有质量？你明显错了。
另外极限我一直试n到10000，极限向P的开2次方趋近。不可能等于P。

追答

嗯，是搞错了。呵呵。

极限的确是√P
动能守恒。

动量损失在中间各个球的动量，每个球都是趋于0，但是无限多个球的动量之和，不是零。

可是我想你又会说他们的动量为什么加起来不是0而动能加起来是0呢。直接给你说结论吧。
因为动能里面是用的V²/2，对应球的数量n来说，是2阶无穷小量，所以动能之和是0，而动量之和不是0。

你这个问题问的好啊，以前真没注意过这个现象，谢谢～

追问

请给出解极限的步骤！
解释得有道理，过去我一直存有疑问，如果这么说，这确实是传递能量最佳的方式，没有任何损失。
如果用大锤敲击圆锥的底部，在尖部放一个小球，是不是全部能量都能传递到小球上？因为圆锥截面不断缩小，相当于中间有无穷的中介。

追答

下午有事出去，回来给你做，这个开方太多，不好打字。等我贴图吧。
圆锥跟这些中间球不同的，他是一体的，就等于所有的碰撞都是完全非弹性碰撞了。最终圆锥尖部尾部都是等速的。所以不相当于这个问题。
传递能量还是根据圆锥质量和小球质量来分配的。
要这样传递能量，就要做成不连体的系列物体，还要保留足够空间让他们发生弹性形变，弹性碰撞，这个有点难啊。
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好了，
分母上面弄错了，由于P^(1/n)是跟n同阶的，不能把P^(1/n)看成是1.

但是P^(1/2n)，就是2n次根下P，可以看成是1，因为P^(1/2n)-1是比n高一阶的无穷小。
即n->∞时,
P^(1/2n)-1->0

写成等号吧
P^(1/2n)-1=0
两边平方

P^(1/n)-2P^(1/2n)+1=0

P^(1/n)+1=2P^(1/2n)

左边就是原来的分母
代入原式。
={[2×P^(1/n)]÷[2P^(1/2n)]}^n
=[P^(1/2n)]^n
=P^(1/2)
=√P

你原式的分母的极限是2^n×√P
分子的极限是2^n×P，前面分子没有算错
结果就是P÷√P=√P

Answer 2

计算方法应该有误。
P的根号n次方用a表示
(1+a)-2a=1-a
由于n趋于无穷大，所以a趋于0
0<1-a
说明分子比分母小，其比值介乎0到1区间，一个介于0到1区间的数，它的无穷次方，结果为0
所以上式结果为0

追问

哥们，你明显错了，
P的根号n次方用a表示，如果P大于1，则a趋于1，但大于1，说明分子比分母大，但比值趋于1，但大于1。无穷次方后，大于1.
如果P小于1，则a趋于1，但小于1，说明分子比分母小，但比值趋于1，但小于1。无穷次方后，小于1.
我一直试n到10000，极限向P的开2次方趋近。

Answer 3

上述极限为P,1无穷型,数学系的只能解释到这...

追问

极限确实存在，你是说这个极限的解是超越数？无法解出来？

追答

哦,不对,是P开根号,重算了一道,(1+x)^1/x=e(x->0时)，这个方法更简单些，只是我p^x求导求错了，抱歉~