Question

如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，∠ABC=60°，∠ACB=50°，请解答下列问题：（1）∠CAD的

如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，∠ABC=60°，∠ACB=50°，请解答下列问题：（1）∠CAD的度数；（2）设AD、BC相交于E，AB、CD的延长线相交于F，求∠AEC、∠AFC的度数；（3）若AD=6，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

（1）∵弧AC=弧AC，
∴∠ADC=∠ABC=60°，
∵AD是直径，
∴∠ACD=90°，
∴∠CAD=180°-∠ACD-∠ADC=30°，
答：∠CAD的度数是30°．

（2）∵∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=70°，
∴∠BAD=∠BAC-∠CAD=70°-30°=40°，
∴∠BCD=∠BAD=40°，
∴∠AEC=∠ADC+∠BCD=100°，
∵∠AFC=∠ABC-∠BCF=60°-40°=20°，
答：∠AEC=100°，∠AFC=20°．

（3）连接OC，过O作OQ⊥AC于Q，
∵∠CAD=30°，AO=3，
∴OQ=

1

2

OA=

3

2

，
由勾股定理得：AQ=

3 3

2

，
由垂径定理得：AC=2AQ=3

3

，
∵∠AOC=2∠ABC=120°，
∴阴影部分的面积是S_扇形OAC-S_△AOC=

120π×32

360

-

1

2

×3

3

×

3

2

=3π-

9 3

4

，
答：图中阴影部分的面积是3π-

9 3

4

．