Question

如图，四棱锥S-ABCD中，SD⊥底面ABCD，AB∥DC，AD⊥DC，AB=AD=1，DC=SD=2，E为棱SB上的一点，平面EDC⊥平

如图，四棱锥S-ABCD中，SD⊥底面ABCD，AB∥DC，AD⊥DC，AB=AD=1，DC=SD=2，E为棱SB上的一点，平面EDC⊥平面SBC．（Ⅰ）证明：SE=2EB；（Ⅱ）求二面角A-DE-C的大小．

Answer 1

（Ⅰ）连接BD，取DC的中点G，连接BG，
由此知DG=GC=BG=1，即△DBC为直角三角形，故BC⊥BD．
又SD⊥平面ABCD，故BC⊥SD，
所以，BC⊥平面BDS，BC⊥DE．
作BK⊥EC，K为垂足，因平面EDC⊥平面SBC，
故BK⊥平面EDC，BK⊥DE，DE与平面SBC内的两条相交直线BK、BC都垂直，
DE⊥平面SBC，DE⊥EC，DE⊥SD．
SB=

SD2+DB2

＝

6

，
DE=

SD?DB

SB

＝

2

3

EB=

DB2?DE2

＝

6

3

，SE＝SB?EB＝

2 6

3

所以SE=2EB
（Ⅱ）由SA=

SD2+AD2

＝

5

，AB=1，SE=2EB，AB⊥SA，知
AE=

( 1 3 SA)2+( 2 3 AB)2

=1，又AD=1．
故△ADE为等腰三角形．
取ED中点F，连接AF，则AF⊥DE，AF=

AD2?DF2

＝

6

3

．
连接FG，则FG∥EC，FG⊥DE．
所以，∠AFG是二面角A-DE-C的平面角．
连接AG，AG=

2

，FG=

DG2?DF2

＝

6

3

，
cos∠AFG=

AF2+FG2?AG2

2?AF?FG

＝?

1

2

，
所以，二面角A-DE-C的大小为120°．