Question

如图1，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A、B、E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC．若∠ABC=∠BEF

如图1，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A、B、E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC．若∠ABC=∠BEF=60°．（1）请直接写出线段PG与PC的位置关系及PGPC的值．（2）若将图1中的菱形BEFG饶点B顺时针旋转，使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，原问题中的其他条件不变，如图2．那么你在（1）中得到的结论是否发生变化？若没变化，直接写出结论，若有变化，写出变化的结果．（3）在图1中，若∠ABC=∠BEF=2α（0°＜α＜90°），将菱形BEFG饶点B顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请直接写出PGPC的值（用含α的式子表示）．

Answer 1

解答：解：（1）延长GP交CD于H，
∵CD∥AB∥GF，
∴∠PDH=∠PFG，
∵P是线段DF的中点，
∴PD=PF，
在△PGF和△PHD中，

∠PDH＝∠PFG PD＝PF ∠DPH＝∠FPG

，
∴△PGF≌△PHD（ASA），
∴PH=PG，DH=FG，
∵CH=CD-DH，CG=BC-BG，
BC-CD，BG=FG，
∴CH=CG，
∴PG⊥PC，∠PCG=∠PCH，
∵∠ABC=∠BEF=60°，
∴∠BCD=180°-60°=120°，
∴∠PCG=

1

2

×120°=60°，
∴

PG

PC

=tan60°=

3

；

（2）猜想：（1）中的结论没有变化．
证明：延长GP交AD于点H，连接CH，CG（如图所示）．
∵P是线段DF的中点，
∴FP=DP，
由题意可知AD∥FG，故∠GFP=∠HDP，
在△PGF和△PHD中，

∠GPF＝∠DPH PD＝PF ∠GFP＝∠HDP

，
∴△PGF≌△PHD（ASA），
∴GF=HD，PH=PG，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD=CB，∠HDC=∠ABC=60°，
∵BF、AB在同一条直线上，
∴∠GBC=60°，
∴∠HDC=∠GBC=60°，
∵（菱形）GF=GB，
∴DH=GB，
在△HDC和△GBC中，

BC＝CD ∠HDC＝∠GBC DH＝GB

，
∴△HDC≌△GBC（SAS），
∴CH=CG，∠DCH=∠BCG，
∴∠DCH+∠HCB=∠BCG+∠HCB=120°．
即∠HCG=120°，
∵CH=CG，PH=PG，
∴PG⊥PC，∠GCP=∠HCP=60°，
∴

PG

PC

=tan60°=

3

；

（3）延长GP至H，使PH=PG，连接CH，DH，CG，
∵P是线段DF的中点，
∴FP=DP，
在△PGF和△PHD中，

FP＝DP ∠DPH＝∠FPG PH＝PG

，
∴△PGF≌△PHD（SAS），
∴GF=HD，∠PDH=∠PFG，
∴DH=BG，DH∥GF，
∵BE∥GF，
∴DH∥BE，
又∵CD∥AB，
∴∠CDH+∠ABE=180°，
∵∠ABC+∠CBG+∠EBG+∠ABE=360°，∠ABC+∠EBG=180°，
∴∠CBG+∠ABE=180°，
∴∠CDH=∠CBG，
在△HDC和△GBC中，

BC＝DC ∠CDH＝∠CBG DH＝BG

，
∴△HDC≌△GBC（SAS），
∴CH=CG，∠DCH=∠BCG，
又∵∠ABC=∠BEF=2α，
∴∠DCH+∠HCB=∠BCG+∠HCB=∠BCD=180°-2α，
∴∠HCG=180°-2α，
∵CH=CG，PH=PG，
∴PG⊥PC，∠GCP=∠HCP=

1

2

（180°-2α）=90°-α，
∴

PG

PC

=tan（90°-α）．