Question

问题：如图（1）在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A，B，E在同一直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC，若∠ABC

问题：如图（1）在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A，B，E在同一直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC，若∠ABC=∠BEF=60°，探究PG与PC的位置关系及PGPC的值，小聪同学的思路是延长GP交DC于点H，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：（1）写出上面问题中线段PG与PC的位置关系及PGPC的值．（2）将图（1）中的菱形BEFG恰好与菱形ABCD的边AB在同一直线上，原问题中的其它条件不变（如图（2））你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想，并加以证明．

Answer 1

（1）延长GP，交CD于点H，
∵四边形ABCD与四边形BEFG是菱形，
∴CD∥AB∥GF，
∴∠PDH=∠PFG，∠DHP=∠PGF，
∵P是线段DF的中点，
∴DP=PF，
在△DPH和△FGP中，

∠PDH＝∠PFG ∠DHP＝∠PGF DP＝PF

，
∴△DPH≌△FGP（AAS），
∴PH=PG，DH=GF，
∵CD=BC，GF=GB=DH，
∴CH=CG，
∴CP⊥HG，∠ABC=60°，
∴∠DCG=120°，
∴∠PCG=60°，
∴PG：PC=tan60°=

3

，
∴线段PG与PC的位置关系是PG⊥PC，

PG

PC

=

3

；

（2）猜想：（1）中的结论没有发生变化．
证明：如图（2），延长GP交AD于点H，连接CH，CG，
∵P是线段DF的中点，
∴FP=DP，
∵AD∥GF，
∴∠HDP=∠GFP，
∵∠GPF=∠HPD，
∴△GFP≌△HDP（ASA），
∴GP=HP，GF=HD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD=CB，∠HDC=∠ABC=60°，
∵∠ABC=∠BEF=60°，菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，
∴∠GBF=60°，
∴∠HDC=∠GBF，
∵四边形BEFG是菱形，
∴GF=GB，
∴HD=GB，
∴△HDC≌△GBC，
∴CH=CG∠HCD=∠GCB，
∴PG⊥PC（到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上）
∵∠ABC=60°
∴∠DCB=∠HCD+∠HCB=120°，
∵∠HCG=∠HCB+∠GCB，
∴∠HCG=120°，
∴∠GCP=60°，
∴

PG

PC

=tan∠GCP=tan60°=

3

．