Question

已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，S3=a4+4，且a1，a2，a4成等比数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项

已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，S3=a4+4，且a1，a2，a4成等比数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）求数列{1Sn}的前n项和公式．

Answer 1

解答：（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d≠0．
因为S₃=a₄+4，
所以3a1+

3×2×d

2

＝a1+3d+4．①
因为a₁，a₂，a₄成等比数列，
所以a1(a1+3d)＝(a1+d)2．②…（5分）
由①，②可得：a₁=2，d=2．…（6分）
所以a_n=2n．…（7分）
（Ⅱ）由a_n=2n可知：Sn＝

(2+2n)×n

2

＝n(n+1)．…（9分）
所以

1

Sn

＝

1

n(n+1)

＝

1

n

?

1

n+1

．…（11分）
所以

1

S1

+

1

S2

+

1

S3

+…+

1

Sn?1

+

1

Sn

=1?

1

2

+

1

2

?

1

3

+…+

1

n

?

1

n+1

=1?

1

n+1

＝

n

n+1

．
所以数列{

1

Sn

}的前n项和为

n

n+1

．…（12分）