Question

如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，B1C1=A1C1，AC1⊥A1B，M，N分别是A1B1，AB的中点，求证：（1）C1M⊥平面AA1

如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，B1C1=A1C1，AC1⊥A1B，M，N分别是A1B1，AB的中点，求证：（1）C1M⊥平面AA1B1B；（2）A1B⊥AM；（3）平面AC1M∥平面B1NC．

Answer 1

解答：证明：（1）由直棱柱性质得AA₁⊥平面A₁B₁C₁，?
又∵C₁M?平面A₁B₁C₁，∴AA₁⊥MC₁．?
又∵C₁A₁=C₁B₁，M为A₁B₁中点，∴C₁M⊥A₁B₁．?
又A₁B₁∩A₁A=A₁，∴C₁M⊥平面AA₁B₁B．?
（2）∵C₁M⊥平面A₁ABB₁，
A₁B?平面AA₁B₁B，
∴C₁M⊥A₁B，
∵AC₁⊥A₁B，（已知），
C₁M∩AC₁=C₁，
∴A₁B⊥平面AC₁M，
∵AM?平面AC₁M，
∴A₁B⊥AM．
（3）∵M、N分别是A₁B₁和AB的中点，
A₁B₁=AB，A₁B₁∥AB，
∴MB₁∥AN，MB₁=AN，
∴四边形ANB₁M是平行四边形，
∴B₁N∥AM，
∵M、N分别是A₁B₁和AB的中点，
∴C₁M∥CN，
∵C₁M∩AM=M，CN∩NB=N，
∴平面AMC₁∥平面NB₁C