Question

已知椭圆C：x2/4+y2/3=1左右焦点F1，F2，直线l方程是x=4，点P是椭圆上动点（不在x轴上），

过点F2作直线PF2的垂线交直线l于Q，判断P在椭圆上运动时，直线PQ与椭圆C公共点个数，并证明结论

Answer 1

解：猜想P在椭圆上运动时，直线PQ与椭圆C公共点个数为1，即直线PQ是椭圆的切线。
证明如下：
设点P的坐标为(m，n)，由于点P在椭圆上，则得
m²/4 + n²/3 = 1.............................①。
而焦点F2的坐标为(1，0)，则直线PQ的斜率为n/(m - 1)，那么直线QF2的斜率为(1 - m)/n。
所以直线QF2的方程为：
y = [(1 - m)n](x - 1) 。
将其与直线 x = 4 联立，解得点Q的坐标为( 4，(3 - 3m)/n ) 。
设直线PQ的斜率为k，则
k = [n - (3 - 3m)/n]/(m - 4)
= (n² + 3m - 3)/[n(m - 4)]...........②。
将①代入②，消去n²并整理，可得
k = -3m/(4n) 。
另外，对椭圆方程 x²/4 + y²/3 = 1 两边关于x求导，可得 y' = -3x/(4y) 。则椭圆在点P(m，n)处的切线的斜率 = -3m/(4n) = k。由于过定点且定斜率的直线具有唯一性，所以直线PQ是椭圆在点P(m，n)处的切线。
故而直线PQ与椭圆C公共点个数为1 。原猜想得证。