Question

一道尺规作图问题

（1）已知一直线l和直线一侧两点A、B，在l上求作一点P，使角APB最大。
（2）已知一直线l和直线一侧四点A、B、C、D，在l上求作一点P，使角APB+角CPD最大。
最好有证明过程。

Answer 1

已知：直线l，同一侧二点A、B。   

求作：在l上一点P，使∠APB最大。

分析：1、要使∠APB最大，必须作出过点A、B且与直线l相切的圆，则除了切点外，直线l上其余的点都在圆外，由夹同一弧的圆外角小于圆周角定理，可得所求的点；

  2、要作出过点A、B且与直线l相切的圆，关键是找出切点，而延长AB与直线l相交，由切割线定理从交点至切点的切线长是这点与圆的两交点线段的比例中项，可作。

作法：1、连结AB；

  2、延长AB交直线l于点C；

  3、作CA、CB的比例中项CD；

  4、在直线l上作点P，使CP=CD，则点P为所求作的点。

证明：过点A、B、P作⊙O，则点P在圆上，

直线l与⊙O的位置关系只有两种可能：相切、相交。

（下面用同一法证明直线l与⊙O相切）

若直线l与⊙O相交，则有另一交点为P“，

由割线定理可得：CP*CP”=CA*CB，

由作图CP^2=CA*CB，

所以CP^2=CP*CP"，得CP=CP”，即P与P“重合，

所以直线l与圆只有唯一的公共点P，即直线l与⊙O相切，

（下面证明∠APB最大）

在直线l上除了点P外任意取点P‘，连结P’A、P‘B，

因点P’在⊙O外，由夹同一⌒AB的圆外角小于圆周角，可得∠APB最大，

所以点P为所求作的点。

讨论：1、在直线l上与点C距离等于CD的点有两个，所以本题有两解。图中的点Q也适合条件。

  2、当直线AB与已知直线l平行时，易知切点只有一个，P即是线段AB的垂直平分线与l的交点，所以此时本题只有一解。（这是一种特殊情况，也较易理解，图中不作出了。这是作为问题的补充回答，谢谢。）

（只作第一小题，第二小题思考方法相同，留给有兴趣的朋友解答）

Answer 2

第二问咋做