Question

高等数学 直角坐标转换成极坐标后 半径r的上下限怎么确定

Answer 1

直角坐标转换成极坐标后 半径r的上下限确定方法：

①画出积分区域，将边界曲线方程化成极坐标方程。
②从坐标原点出发作射线，穿进区域点的极径为下限，穿出区域点的极径为上限。

例如：

y=x^2 ===> r=sinθ/(cosθ)^2=secθtanθ；
x=1 ===> r=secθ。
从坐标原点出发作射线，
从抛物线穿进区域点的极径为r=secθtanθ，secθtanθ即为对r的积分下限，
从直线穿出区域点的极径为r=secθ，那么secθ即为对r的积分上限。

Answer 2

思想是一样的，直角坐标中例如X型区域，X坐标从头到尾变化时，Y坐标要不多不少地扫过积分区域；极坐标中Θ从头到尾变化时，R也要不多不少地扫过积分区域，想想汽车雨刮，在从左刮到右这个过程中，就是Θ从头到尾变化，只不过此时R是定值，一个过程下来扫过的是扇形。如果R再随时间改变，就可以扫过各种积分区域了。

再看回上下限的问题，不同的Θ对应不同的R，R是Θ的函数，从几何上想象一下。