Question

数学大神来答:求证:没有整数x，y， 使x平方+y平方=2015(奇偶性问题)

Answer 1

x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=2015
设有整数XY满足上面的方程．且XY奇偶性相同
则(x+y)^2 为偶数，-2xy为偶数，两者之和为偶数．假设不成立！
设有整数XY满足上面的方程．且XY奇偶性不同
x=2n,y=2m+1
x^2+y^2=4n^2+4m^2+4m+1=2015
4*(n^2+m^2+m)=2014
2014不是4的整数倍，所以假设不成立！
综不所述，没有整数XY满足x^2+y^2=2015

Answer 2

证明：用反证法，假设存在整数x,y，使得x^2+y^2=1015
因为奇数的平方是奇数，偶数的平方是偶数，且2015是奇数
所以x和y应为一奇一偶
不妨设x=2n，y=2m+1，其中m和n都是整数
(2n)^2+(2m+1)^2=2015
4n^2+4m^2+4m+1=2015
4(n^2+m^2+m)=2014
n^2+m^2+m=503.5
因为n^2，m^2和m都是整数
所以上述等式矛盾
所以不存在整数x和y，使得x^2+y^2=2015