Question

已知函数f(x)=log(3)x;若关于x的方程f(ax)*f(a*x*x)=f(3)的解都在区间（0，1）内，求实数a的取值范围；

Answer 1

f(x)=log3(x)

f(ax)*f(a*x*x)=f(3)即

[log3(a)+log3(x)][log3(a)+2log3(x)]=1

为打字方便设log3(a)=n , log3(x)=M,上式即：

(M+n)(2M+n)=1
2M^2+3nM+n^2-1=0
设M1，M2是上述方程的根，根据韦达定理：
M1+M2=-3n/2;
M1,M2在区间（0，1）内，所以：
0<-3n/2<2;
0>n>-4/3;
即-4/3<log3(a)<0;
3^(-4/3)<a<1；

追问

那根据韦达定理 M1*M2=（n*n-1）/2;
M1,M2在区间（0，1）内，所以：
0< （n*n-1）/2<1;
要综上两个不？

追答

我觉得不需要，两个根之和最小无限接近于0，最大无限接近于2，就是它们的范围了。

再说两个小数相乘，值是缩小的，它们的乘积与单个数字不好比。

Answer 2

见图