Question

高手指点下,有理真分式转化成部分分式的形式????

例： x+1/(x-1)^2
是应该设 A/x-1 + B/(x-1)^2 还是 A/x-1 + Bx+c/(x-1)^2
用这两种形式列方程组的话都解不出来啊 我看了一些参考书解法不一样 有的还用设Bx+c 有的直接用 B 我就想明确下什么时候用 Bx+c 什么时候直接用 B
是用列方程组的办法 不要用实根代入法 因为我没学虚数
例 -x^2-2/(x^2+x+1)^2 写出设的过程就行 谢谢

Answer 1

设(-x²-2)/(x²+x+1)²=(ax+b)/(x²+x+1)+(cx³+dx²+ex+f)/(x²+x+1)²
然后展开后比较两边同类项的系数，得方程组来解。

追问

第一问呢

Answer 2

应该是有理分式积分中的裂项法问题，裂项时待定系数法是万能方法。
如果分子最高次幂高于分母，需要用综合除法写成整式+真分式的形式。整式积分很easy，真分式积分时还需裂项。
真分式的分子是多项式，分母必须能分解因式，且其所有因子都须是(x+a)^r的形式或(x^2+bx+c)^t的形式（b^2-4c<0）。这是因为对任意的x^2+bx+c，如果判别式≥0，则必可分解为两个一次的乘积。
对前者，裂项时只需出现a1/(x+a)^r+a2/(x+a)^(r-1)+……+ar/(x+a);
对后者，裂项时须出现(b11x+b12)/(x^2+bx+c)^t+(b21x+b22)/(x^2+bx+c)^(t-1)+……+(bt1x+bt2)/(x^2+bx+c)
所以，可设(x+1)/(x-1)^2=A/(x-1) + B/(x-1)^2=(Ax-A+B)/(x-1)^2

令分子对应系数分别相等，得
A=1
-A+B=1
得A=1,B=2
故(x+1)/(x-1)^2=1/(x-1) + 2/(x-1)^2
其实本例很简单，只需稍作变形即可：
(x+1)/(x-1)^2=(x-1+2)/(x-1)^2=1/(x-1) + 2/(x-1)^2
下一例：
(-x^2-2)/(x^2+x+1)^2
首先是真分式，且分母的因式x^2+x+1判别式△=-3<0无法分解为两个实系数单项式的乘积。
只需设：
(-x^2-2)/(x^2+x+1)^2=(ax+b)/(x^2+x+1)^2+(cx+d)/(x^2+x+1)
即可。同分后名分子对应系数分别相等得
c=0
d=-1
a=1
b=-1
故
(-x^2-2)/(x^2+x+1)^2=(x-1)/(x^2+x+1)^2-1/(x^2+x+1)
不明白请追问。