Question

已知关于x的方程3^x=(2a+3)/(5-x)有正根，求实数a的取值范围

已知关于x的方程3^x=(2a+3)/(5-x)有正根，求实数a的取值范围

请写出答案与解题思路，谢谢！

Answer 1

a=-3/2时方程没有正根
a不等于-3/2时，2边同时取倒数得到
(1/3)^x=(5-x)/(2a+3)，用图像法求解，在坐标系下画出y=(1/3)^x的图像（在此不好写，自己下去画画），y=(5-x)/(2a+3)是一条过定点(5，0)的直线，由图像知当斜率为负时，直线为指数函数的切线时，斜率可取到临界值。设这时的斜率为k，切点（x0，(1/3)^x0），求导可得
k=(1/3)^x0*ln1/3，可由点斜式写出切线方程
y-(1/3)^x0=(1/3)^x0*ln1/3(x-x0)，因为(5，0)在直线上，带进去可救出x0=5-1/ln3，显然x0是大于0的，满足正根的条件，此时斜率k0=(1/3)^(5-1/ln3)*ln1/3
由图像得当直线的斜率k满足k>0或者k<=k0时都能保证方程有正根，k=-1/(2a+3)
所以有-1/(2a+3)>0或者-1/(2a+3)<=(1/3)^(5-1/ln3)*ln1/3
求出a的取值范围a<[3^(5-1/ln3)/2ln3]-3/2且a不等于-3/2