Question

在直角坐标系xOy中，点P到两点(0，－√3)，(0，√3)的距离只和等于4，设

在直角坐标系xOy中，点P到两点(0，－√3)，(0，√3)的距离只和等于4，设点P的轨迹为c，直线y＝kx+1与c交于A，B两点。 (1)写出c的方程； (2)若OA向量⊥OB向量，求k的值； (3)若点A在第一象限，证明：当k＞0时，恒有|OA向量|＞|OB向量|。 求答案啊！在线等，急用啊！

Answer 1

解：(1)设F1（0，-v3），F2（0，v3）
因为!PF1! +!PF2!=4
所以易知轨迹C为焦点在y轴的椭圆
所以2a=4，a=2，c=v3 ，b=v(4-3)=1
c的方程为x^2 + y^2/4 =1
(2)设A(x1,y1), B(x2,y2)
联立x^2 + y^2/4 =1和y=kx+1整理得：（k^2 +4)x^2+2kx-3=0
则x1+x2=-b/a=-2k/(k^2+4)
x1x2=c/a=-3/(k^2+4)
y1y2=(kx1+1)(kx2+1)=k^2 x1x2+k(x1+x2)+1=4-4k^2 /(4+k^2)
因为OA垂直OB，所以x1x2+y1y2=0
即 -2k/(k^2+4) + 4-4k^2 /(4+k^2) =0
整理得：2k^2+k-2=0
解得：k=(-1+v17 )/4 或者k=(-1-v17)/4

Answer 2

(1)椭圆方程，c=√3 2b=4 b=2 a^2=b^2-c^2=4-3=1
　　c的方程:x^2+y^2/4=1
(2)x^2+y^2/4=1 y＝kx+1 联立解得：
　　A([-k-2√(k^2+3)]/(4+k^2),[4-2k√(k^2+3)]/(4+k^2))
　　B([-k+2√(k^2+3)]/(4+k^2),[4+2k√(k^2+3)]/(4+k^2))
　　或B([-k-2√(k^2+3)]/(4+k^2),[4-2k√(k^2+3)]/(4+k^2))
　　A([-k+2√(k^2+3)]/(4+k^2),[4+2k√(k^2+3)]/(4+k^2))
　　∵OA向量⊥OB向量
　　∴[-k-2√(k^2+3)]*[-k+2√(k^2+3)]/(4+k^2)^2+[4-2k√(k^2+3)]*[4+2k√(k^2+3)]/(4+k^2)^2=0
　　k^2-4(k^2+3)+16-4k^2(k^2+3)=0
　　4k^4+15k^2-4=0
　　k1=-1/2 k2=1/2
(3)∵点A在第一象限
　　∴A([-k+2√(k^2+3)]/(4+k^2),[4+2k√(k^2+3)]/(4+k^2))
　　B([-k-2√(k^2+3)]/(4+k^2),[4-2k√(k^2+3)]/(4+k^2))
　　|OA|^2=[k^2+4(k^2+3)-4k√(k^2+3)+16+4k^2(k^2+3)+16k√(k^2+3)]/(4+k^2)^2
　　 =[4k^4+17k^2+28+12k√(k^2+3)]/(4+k^2)^2
　　|OB|^2=[k^2+4(k^2+3)+4k√(k^2+3)+16+4k^2(k^2+3)-16k√(k^2+3)]/(4+k^2)^2
　　 =[4k^4+17k^2+28-12k√(k^2+3)]/(4+k^2)^2
　　|OA|^2-|OB|^2=24k√(k^2+3)]/(4+k^2)^2
　　∴当k＞0时，恒有|OA向量|^2＞|OB向量|^2。
　　从而恒有|OA向量|＞|OB向量|。