Question

已知F1、F2分别是双曲线C1：x^2/a^2-y^2/b^2=1(a＞0,b＞0)的左、右焦点，且F2是抛物线C2：

y^2=2px(p＞0)的焦点，双曲线C1与抛物线C2的一个公共点是P。若线段PF2的中垂线恰好经过焦点F1，则双曲线C1的离心率是？

Answer 1

解：设点P（x0，y0），F2（c，0），过P作抛物线准线的垂线，垂足为A，连接PF2，由双曲线定义可得|PF2|=|PF1|-2a
由抛物线的定义可得|PA|=x0+c=2c-2a，∴x0=c-2a
在直角△F1AP中，|F1A|2=8ac-4a2，
∴y02=8ac-4a2，
∴8ac-4a2=4c（c-2a）
∴c2-4ac+a2=0
∴e2-4e+1=0
∵e＞1
∴e=2+根号3