计算∫∫(D)x^2ydxdy,其中D由双曲线x^2-y^2=1及直线y=0,y=1所围成的平面区域
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这题我怎么记得前几天刚答过呢，呵呵。
先只考虑第一象限内的积分，根据积分区域的特点应先对x积分，平行于x轴作一条直线穿过积分区域，则该直线由x=0穿人积分区域再由x=(y^2+1)^(1/2)穿出，所以x的积分限为0到(y^2+1)^(1/2)，y的积分限为0到1。积分=∫ydy∫x^2dx=(1/3)∫y(y^2+1)^(3/2)dy=(1/6)∫(y^2+1)^(3/2)d(y^2+1)=(1/15)(y^2+1)^(5/2)=[2^(5/2)-1]/15。
由于积分区域关于y轴对称，被积函数x^2y是关于x 的偶函数，因此原积分=2*[2^(5/2)-1]/15]
先只考虑第一象限内的积分，根据积分区域的特点应先对x积分，平行于x轴作一条直线穿过积分区域，则该直线由x=0穿人积分区域再由x=(y^2+1)^(1/2)穿出，所以x的积分限为0到(y^2+1)^(1/2)，y的积分限为0到1。积分=∫ydy∫x^2dx=(1/3)∫y(y^2+1)^(3/2)dy=(1/6)∫(y^2+1)^(3/2)d(y^2+1)=(1/15)(y^2+1)^(5/2)=[2^(5/2)-1]/15。
由于积分区域关于y轴对称，被积函数x^2y是关于x 的偶函数，因此原积分=2*[2^(5/2)-1]/15]
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