Question

如果函数y=a^(2x)+2a^(x)-1(a>0,且a不等于1)在区间【-1,1】上的最大值是14,求a的值

Answer 1

令a^x=t，则：t>0
则：y=t²+2t-1
y(max)=14
即：t²+2t-1=14
t²+2t-15=0
(t+5)(t-3)=0
t1=-5（舍），t2=3
即：y在t=3时，取得最大值
也就是y=a^(2x)+2a^(x)-1在a^x=3时取得最大值
又x属于[-1,1]
易得：a=1/3或a=3

祝你开心！希望能帮到你，如果不懂，请追问，祝学习进步！

追问

也就是y=a^(2x)+2a^(x)-1在a^x=3时取得最大值
又x属于[-1,1]
这中间过程能详解吗，是怎样的到a的？谢谢

追答

x属于[-1,1]

则：
（1）01时，a^x属于[1/a,a]
即t属于[1/a,a]
而y=t²+2t-1，对称轴为t=-1，所以在[1/a,a]上递增，t=3时取最大值，则：a=3；

Answer 2

y=a^(2x)+2a^(x)-1=(a^x)^2+2a^x-1=(a^x+1)^2-2
a^x为单调函数,在区间[-1,1]上的最大取值是a^(1)=a或a^(-1)=1/a
由y=14得a^x+1=4 (a^x>0) a^x=3
所以a=3
或 1/a=3 a=1/3

Answer 3

可以把a^x当做一个整体，设为t，y=t^2+2t-1，因为t=a^x是个指数函数。
当a＞1时，t=a^x单调递增。t∈[1/a,a]
y=(t+1)^2-2,对称轴是t=-1,但实际上t是大于0的数，所以，t在[1/a,a]上单调递增，最大值在t=a时取
a^+2a-1=14 解得a=-5或a=3,因为a＞1,所以a=-5舍掉，a=3.
当0＜a＜1时，t=a^x单调递减。t∈[a,1/a]
这时，y=t^2+2t-1的最大值在t=1/a时取，
1/a^2+2/a-1=14,解出来的结果留下正数解a=1/3.
综上所述，a=3或a=1/3
不知道解得对不对。