Question

已知等腰三角形的三边长a，b，c，且a=c，若关于x的一元二次方程ax^2－根号2﹙bx﹚＋c=0的两根之差为根号2

题：已知等腰三角形的三边长a，b，c，且a=c，若关于x的一元二次方程ax^2－根号2﹙bx﹚＋c=0的两根之差为根号2，则等腰三角形的一个底角是﹙ ﹚
A.15° B.30° C.45° D.60°

Answer 1

a=c sinA=sinC
B=180°-A-C=180°-2A
sinB=sin(180°-2A)=sin(2A)

设两根分别为x1，x2，且x1>x2
由韦达定理得
x1+x2=√2b/a
x1x2=c/a
a=c x1x2=c/a=1
x1-x2=√2
(x1-x2)²=2
(x1+x2)²-4=2
(√2b/a)²=6
2b²/a²=6
b=√3a
由正弦定理得
sinB=√3sinA
sin(2A)=√3sinA
2sinAcosA=√3sinA
cosA=√3/2
A=30°
选B。

Answer 2

∵关于X的一元二次方程 ax方-根号2 bx+c = 0的两根之差为根号2，
∴x1+x2=√2b/a, x1x2=c/a,
∵x1-x2=√2， ∴(x1-x2)²=2
∵(x1-x2)²=(x1+x2)²-4x1x2，
∴2b²/a²-4c/a=2
∴b=√3a,
作BD⊥AC于D,则AD=CD=√3a/2,
在Rt△BDC中，cosC=DC/BC=√3/2，
∴∠A=∠C=30°