Question

椭圆过椭圆x²/a²+y²/b²=1（a＞b＞0）的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，

过椭圆x²/a²+y²/b²=1（a＞b＞0）的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2=60°，则椭圆的离心率为_
详细步骤

Answer 1

由给定的椭圆方程x^2/a^2＋y^2/b^2＝1，得：c＝√（a^2－b^2），
∴点F1的坐标是（－√（a^2－b^2），0），∴PF1的方程是x＝－√（a^2－b^2）。
令x^2/a^2＋y^2/b^2＝1中的x＝－√（a^2－b^2），∴（a^2－b^2）/a^2＋y^2/b^2＝1，
∴y^2/b^2＝b^2/a^2，∴y^2＝b^4/a^2，∴｜PF1｜＝b^2/a。
显然有：｜F1F2｜＝2c＝2√（a^2－b^2）。

∵∠F1PF2＝60°，∴｜F1F2｜＝√3｜PF1｜，∴2√（a^2－b^2）＝√3b^2/a，
∴4a^2－4b^2＝3b^4/a^2，∴4a^4－4（ab）^2＝3b^4，∴（b/a）^4＋（b/a）^2＝3/4，
∴［（b/a）^2＋1/2］^2＝1，∴（b/a）^2＋1/2＝1，∴（b/a）^2＝1/2。
∴e＝c/a＝√［（a^2－b^2）/a^2］＝√［1－（b/a）^2］＝√（1－1/2）＝√2/2。

Answer 2

方法1
PF1垂直F1F2
所以角PF2F1=30°
tan30°=PF1/F1F2
将F1（-c，0）代入x²/a²+y²/b²=1
y=b²/a
即PF1=b²/a
tan30°=PF1/F1F2=b²/a/(2c)=√3/3
整理化简3e²+2√3e-3=0
e=√3/3
方法2
设PF1=x
PF1垂直F1F2
所以角PF2F1=30°
sin30=PF1/PF2=1/2
所以PF2=2x
有因为
PF1+PF2=2a
3x=2a
PF2=2x=4/3a
cos30=PF2/F1F2=√3/2=2c/（4/3a）
c/a=e=√3/3