Question

已知集合A={x|1<log2x≤3},B={x|x²-ax+2a=0},

已知集合A={x|1<log2x≤3},B={x|x²-ax+2a=0},C={x|x²-ax+2a＞0}
（1）若A∩B≠∅，求a的范围；
（2）若A∩C≠∅，求a的范围
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Answer 1

由A={x|1<log2x≤3}可知： 2<x<=9
（1）若A∩B≠∅,则B中x²-ax+2a=0的根范围在(2,9]之内。
Δ=a²-8a>=0, 且对称轴2<a/2<=9,且两根距离|x1-x2|<7
(x1-x2)^2=(x1+x2)^2-4x1*x2=a²/4-4a<49 即a²-16a-196<0
（a>=8或a<=0）且(4<a<=18)且（8-3 √ 3<a<8+3√3）
综上，a的范围为： 8<=a< 8+3√3

（2）当方程x²-ax+2a=0的根范围在(2,9]之内，必有A∩B≠∅，所以（1）中a的范围仍适用，但

当方程x²-ax+2a=0无根时，因为x²-ax+2a的图像开口向上，其值恒大于0，即Δ=a²-8a<0
所以本题解为（ 8<=a< 8+3√3）或（0<a<8）
即：0<a< 8+3√3

Answer 2

不等式1<log（2）x≤3可化为log（2）2<log（2）x≤log（2）2³=log（2）8
∵y=log（2）x在定义域上为增函数，∴2<x≤8
∴A={x|1<log（2）x≤3}= {x|2<x≤8}
（1）若A∩B≠∅,则①B中x²-ax+2a=0有实根，即Δ=a²-8a≥0, 解得a≥8或a≤0
②B中x²-ax+2a=0至少有一实根落在区间（2，8]上，
根据函数零点的判断方法，得到f（2）=4＞0，f（8）=64-6a＞0
解得a＜32/3
综上，a的范围为：a∈（-∞，0]∪[8，32/3）
（2）若A∩C≠∅,则x²-ax+2a＞0在区间（2，8]上恒成立
①当方程x²-ax+2a=0无实数根时，∵x²-ax+2a的图像开口向上，其值恒大于0，
即Δ=a²-8a<0，解得：0<a<8
②y=x²-ax+2a对称轴在x=2左侧且f（2）=4＞0时
即a/2＜2，解得a＜4
②y=x²-ax+2a对称轴在x=8右侧且f（8）=64-6a＞0时
即a/2＞8，a＜32/3，解得：此方程无解
综上所述，a的范围为：a∈（-∞，8）